2008年四校聯考（東北育才、天津耀華、大連育明、哈三中）第一次高考模擬考試數學試卷（理工類）
考試說明：本試卷分第1卷（選擇題）和第1I卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．
（1）答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚；
（2）選擇題必須使用2B鉛筆填涂，非選擇題必須使用
（3）請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效
（4）保持卡面清潔，不得折疊、不要弄皺、弄破，不準使用涂改液、刮紙刀。
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）
1．已知復數
，則
等于
A．
B．
C．
D．
2．“
”是“
”的
A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
3．
是
內的一點，
，則的面積與
的面積之比為
A．2 B．
D．6
4．已知直線
與平面
成
角，直線
，若直線在內的射影與直線
也成角，則與所成的角是
A．
B． C．
D．
5．函數
的反函數是
A．
B．
C．
D．
（x∈R）
6．已知過拋物線
焦點的弦長為12，則此弦所在直線的傾斜角是
A．
B．
C．
D．
7．若一系列函數的解析式相同，值域相同但定義域不同，則稱這些函數為“孿生函數”，那么函數解析式為
，值域為
的“孿生函數”共有
A．15個 B．12個 C．9個 D．8個
8．已知
是周期為
的函數，當
時，
，則方程
的解集為
A．
B．
C．
D．
9．若圓
上有且只有兩個點到直線
的距離等于
，則半徑
的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
10．下列各函數中值域為（
）的是
A．
B．
C．
D．
11．已知雙曲線
的左，右焦點分別為
，點在雙曲線上，且
，則此雙曲線離心率的最大值為
A． B．
C．2 D．
12．已知
是定義在R上的不恒為零的函數，若對于任意實數
都有
，則
A．是奇函數，但不是偶函數 B．是偶函數，但不是奇函數
A．既是奇函數，又是偶函數 D．既非奇函數，又非偶函數
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分，將答案填在題后的橫線上。）
13．若等差數列
的前六項的和
，且
，則
=
。
14．
的展開式中
的系數為
，（用數字作答）
15．已知
是單位向量，且滿足
，則向量
在方向上的投影是
16．已知點
在不等式組
表示的平面區域內運動，則
的最小值為
。
三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）
17．（本小題滿分10分）
中，角
所對的邊分別為
且
（1）求角的
大小
（2）若向量
，向量
，求的值
18．（本小題滿分12分）
如圖，四面體
中，
是
的中點，
=
=
==
，
。
（1）求證：平面
平面
；
（2）求二面角
的大小。
19．（本小題滿分12分）
2008年北京奧運會乒乓球比賽將產生男子單打、女子單打、男子團體、女子團體共四枚金牌，保守估計中國乒乓球男隊獲得每枚金牌的概率均為
，中國乒乓球女隊一枚金牌的概率均為
（1）求按此估計中國乒乓球女隊比中國乒乓球男隊多獲得一枚金牌的概率；
（2）記中國乒乓球隊獲得金牌的數為
，按此估計的分布列和數學期望
。
20．（本小題滿分12分）
已知函數
．
（1）當=2時，求函數的單調區間和極值；
（2）若函數在
上為單調函數，求實數的取值范圍．
21．（本小題滿分12分）
直角三角形
的直角頂點
為動點，
，
為兩個定點，作
，動點
滿足
=
，當點運動時，設點的軌跡為曲線，曲線與
軸正半軸交點為
。
（1）求曲線的方程；
（2）是否存在方向向量為
的直線，與曲線交于
兩點，且
與
的夾角為
？若存在，求出所有滿足條件的直線方程；若不存在，說明理由。
22．（本小題滿分12分）
已知
，
為數列{
）的前
項和，數列{）滿足
，且函數對于任意的
都滿足
。
（1）求函數的方程式
（2）求數列的通項公式；
（3）若
，求證：
2008年四校聯考第一次高考模擬考試
數學試卷（理工類）評分標準
三、解答題：
17．（本題滿分10分）
（1）∵
∴
，…………………（2分）
∴
，∴
∴
…（4分）
（2）∵
∴
，即
又
，∴
，即
②………6分
由①②可得
，∴
……………………………（8分）
又
∴
，∴
………（10分）
18．（本題滿分12分）
方法一：
（1）∵
∴
…（2分）
∵
∴
…（4分）
∴
平面
∵
平面，∴平面
平面……………………（6分）
（2）∵平面
平面
作
于點，連結
，
由三垂線定理可知
為所求二面角的平面角． ………………………（9分）
在
中，由已知得
．
所求二面角大小為
…………………12分
方法二：
（1）同方法一．
（2）以
為原點，以
為
軸，
為軸，
為
軸建立空間直角坐標系。
，
，
∴
。
∵平面，∴為平面的法向量…………………………（8分）
設平面
的法向量為
，
，
則
，∴
令
，得
是平面的一個法向量…………（10分）
∴
，∴所求二面角大小為
…………（12分）
19．（本題滿分12分）
（1）設中國乒乓球男隊獲0枚金牌，女隊獲1枚金牌為事件，中國乒乓球男隊獲1枚金牌，女隊獲2枚金牌為事件，那么，
=
=
（2）根據題意中國乒乓球隊獲得金牌數是一隨機變量，
它的所有可能取值為0，1，2，3，4（單位：枚）
那么
則概率分布為：
0
1
2
3
4
那么，所獲金牌的數學期望
（枚）
答：中國乒乓球隊獲得金牌數的期望為
枚。
20．（本題滿分12分）
（1）定義域
，
，
即
…………………（2分）
由
得
或>1，由
得
或
，
所以的單調遞增區間為
和
的單調遞減區間為和（
）和，
的單調遞減區間為
和（0，1）
（0，1）
1
+
0
―
―
0
+
增
極大值
減
減
極小值
增
極大值
，極小值
。
（2）若為增函數，則當
時，
恒成立，
即
， 變形得
當時，
，所以
…………………（9分）
若為減函數，則當
時，
恒成立
即
，變形得
當時，
，所以
……………………（11分）
綜上得或
21．（本題滿分12分）
（1）由題意知，點在以
為直徑的圓上，且除去，兩點
即點坐標滿足方程：
設點
，
，則，
，
由
知，
即
。
代入①式得
，即
，
∴曲線的方程為．
（2）由（1）知，點
，假設直線存在，可設：
，設
不妨令則由
得
……………………（6分）
∴
∴
………………………………（8分）
則
=
=
=
=
，
則
， 即
，
解得
當
時，向量與的夾角為60。，不合題意舍去：
當
時，向量與的夾角為，符合題意．
綜上，存在滿足條件的直線
……………………………（12分）
22．（本題滿分12 分-）
（1）把
代入
中得
…………（2分）
（2），①
，②
①式減②式得，
，變形得，
又因為
，所以，時上式也成立．…………………（5分）
所以，數列
是以1為首項，以
為公比的等比數列，
所以
……………………………（6分）
（3）
∵
……
……
。………9分
=
=
=
所以
，即
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