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1．函數和在同一直角坐標系下的圖像大致是（    ）

2．已知直線和平面m，直線直線b的一個必要不充分的條件是（    ）

      （A）且                                 （B）且

      （C）且                                      （D）與m所成角相等

3．若弧度是2的圓心角所對的弦長為2，則這個圓心角所夾扇形的面積是（    ）

（A）               （B）              （C）               （D）

4．已知動點在曲線上移動，則點與點連線中點的軌跡方程是（    ）

（A）          （B）      （C）      （D）

5．用6種不同的顏色把圖中A、B、C、D四塊區域區分開，若相鄰的 

區域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（    ）

（A）400種                                                   （B）460種

（C）480種                                                （D）496種

6．設是和的等比中項，則的最大值為

（A）10                   （B）7                     （C）5                     （D）

7．在正方體上任意選擇兩條棱，則這兩條棱所在的直線成異面直線的概率為

（A）                  （B）                     （C）                    （D）

8．若，且，，則等于（  ）

（A）                （B）                    （C）                      （D）

9．已知點A，B，C不共線，且有，則有（  ）

（A）                             （B）

（C）                              （D）

10．設是定義在R上的奇函數，且當時，，若對任意的，不等式恒成立，則實數t的取值范圍是（  ）

（A）                                         （B）

（C）                                                 （D）

11．已知集合，，則=          。

12．在的二項展開式中，若只有系數最大，則n=           。

13．已知向量，，且，，則向量=       。

14．某運動員投籃投中的概率，那么該運動員重復5次投籃，投中次數的期望是  ；方差是    。

15．已知函數滿足條件，則正數=      。

16．如果點p在平面區域上，點Q在曲線上，那么的最大值為       。

17．如圖，邊長為的正中線與中位線相交于，已知是繞旋轉過程中的一個圖形，現給出下列命題，其中正確的命題有      （只需填上正確命題的序號）。

（1）動點在平面上的射影是線段

（2）三棱錐的體積有最大值；

（3）恒有平面平面；

（4）異面直線與不可能互相垂直；

（5）異面直線與所成角的取值范圍是。

18．（本小題滿分14分）

設函數。

（1）試判定函數的單調性，并說明理由；

（2）已知函數的圖象在點處的切線斜率為，求的值．

19．（本小題滿分14分）如圖，矩形與矩形全等， 

且所在平面所成的二面角為，記兩個矩形對角線的交點分別  

為，，，。

（1）求證：平面；

（2）當，且時，求異面直線與所成   

的角；

（3）當，且時，求二面角的余弦值（用，表示）。

20．（本小題滿分14分）如圖，在橢圓中，點是左焦點，   ，分別為右頂點和上頂點，點為橢圓的中心。又點在橢圓上，且滿足條件：，點是點在x軸上的射影。

（1）求證：當取定值時，點必為定點；

（2）如果點落在左頂點與左焦點之間，試求橢圓離心  

率的取值范圍；

（3）如果以為直徑的圓與直線相切，且凸四邊形的面積等于，求橢圓的方程。

21．（本小題滿分14分）某遠洋捕漁船到遠海捕魚，由于遠海漁業資源豐富，每撒一次網都有w萬元的收益；同時，又由于遠海風云未測，每撒一次網存在遭遇沉船事故的可能，其概率為（常數k為大于l的正整數）。假定，捕魚船噸位很大，可以裝下幾次撒網所捕的魚，而在每次撒網時，發生不發生沉船事故與前一次撒網無關，若發生沉船事故，則原來所獲的收益將隨船的沉沒而不存在，又已知船長計劃在此處撒網n次。

（1）當n=3時，求捕魚收益的期望值

（2）試求n的值，使這次遠洋捕魚收益的期望值達到最大。

22．（本小題滿分16分）設數列的所有項都是不等于1的正數，前n項和為，已知點在直線上，（其中，常數k≠0，且k≠1），又。

（1）求證：數列是等比數列；

（2）如果，求實數k，b的值；

（3）如果存在，使得點和都在直線上，試判斷，是否存在自然數，當時，恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，請說明理由．

數學試題卷（理科）評分標準

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

D

D

C

C

C

A

C

A

A

11．                    12．10                         13．

14．3     ；1.2             15．                        16．

17．（1）（2）（3）（5）

18．（本小題滿分14分）   

解：，

定義域內單調遞增。                                                            4分

（2）由，得：。

    ，得，                      4分

                                     6分

19．（本小題滿分14分）

（1）連接，分別是，的中點，

，而平面，

；                                                                              4分

（2）以為原點，分別為軸，軸建立空間       直角坐標系，如圖：

由條件可設，，，，又，，，，，，設異面直線AC與所成角為，                                                                                                         4分

則

，∴

異面直線與所成角為

（3）設，， ，，

，又有， 

，，得，

設平面的法向量為，

，，而，，

，設平面的法向量為m，則，

 。                                   6分

20．（本小題滿分14分）

（1）由，，得，代入橢圓方程，得，或，軸，或，

為定值，為定點；                                                           4分

（2）點落在左頂點與左焦點之間，只有，且，可解得；                                                                            4分

（3）以OP為直徑的圓與直線AB相切等價于點O到直線AB的距離等于。由條件設直線，則點O到直線的距離，又，得①

又由，

得。②    由①②解得，，

所以所求橢圓方程為：。                                    6分

21（本小題滿分14分）

解：（1）列表：

收益

0

3W

P

3分

所以收益的期望值=                                         3分   

（2）列表：

收益

0

nW

P

因此，撒了n次網收益的期望值等于                      4分

   ，

等價于，得。

當時，；

  當時，；

  當時，；

 因此，當時，達到最大。                                                4分

22．（本小題滿分16分）

解：（1）點，都以直線上，

，得。

常數，且，（非零常數）

數列是等比數列。                                                       4分

（2）由，得，

，得。   

由在直線上，得，

令得。                                            4分

（3）恒成立等價于，

  存在，使得和都在上，

  ，（1）

    ，（2） 

得：，

     易證是等差數列，設其公差為d，則有，

，，

得：，

又

由，  得，

即：數列是首項為正，公差為負的等差數列，                                4分

  一定存在一個最小自然數M，使

  ，   即

解得。

，。

即存在自然數，其最小值為，使得當時，恒成立。4分

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