Question

【題目】已知橢圓（）的左、右焦點分別為， ，點在橢圓上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在斜率為2的直線，使得當(dāng)直線與橢圓有兩個不同交點時，能在直線上找到一點，在橢圓上找到一點，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）由焦點坐標(biāo)可得，再根據(jù)及點在橢圓上，可得，進(jìn)而可得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，與判別式為正可得，再根據(jù)平行四邊形性質(zhì)及韋達(dá)定理可得點的縱坐標(biāo)范圍是，可判定點不在橢圓上，所以這樣的直線不存在．

試題解析：（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，

因此橢圓方程為

在橢圓上， 解得

故橢圓的方程為．

（2）假設(shè)存在這樣的直線 設(shè)直線的方程為，

設(shè)， ， ， ， 的中點為，

由得，

所以，且，則，

由知四邊形為平行四邊形，

而為線段的中點，因此， 也是線段的中點，

所以，可得，

又，所以，

因此點不在橢圓上．

所以這樣的直線l不存在

【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、韋達(dá)定理以及解析幾何中的存在性問題，屬于難題.解決存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在，注意：①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件；③當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法題很難時采取另外的途徑.