Question

【題目】已知直線l過點P（0，2），斜率為k，圓Q：x2+y2﹣12x+32=0．
（1）若直線l和圓相切，求直線l的方程；
（2）若直線l和圓交于A、B兩個不同的點，問是否存在常數k，使得+與共線？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）將圓的方程化簡，得：（x﹣6）2+y2=4，圓心Q（6，0），半徑r=2．
設直線l的方程為：y=kx+2，故圓心到直線l的距離d==．
因為直線l和圓相切，故d=r，即=2，解得k=0或k=﹣．
所以，直線l的方程為y=2或3x+4y﹣8=0．
（2）將直線l的方程和圓的方程聯立，消y得：（1+k2）x2+4（k﹣3）x+36=0，
因為直線l和圓相交，故△=[4（k﹣3）]2﹣4×36×（1+k2）＞0，解得﹣＜k＜0．
設A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），則有：x1+x2=；x1x2=
而y1+y2=kx1+2+kx2+2=k（x1+x2）+4，+=（x1+x2 ， y1+y2），=（6，﹣2）．
因為+與共線，所以﹣2×（x1+x2）=6×（y1+y2）．
即（1+3k）（x1+x2）+12=0，代入得（1+3k）[﹣]+12=0，解得k=﹣．
又因為﹣＜k＜0，所以沒有符合條件的常數k．
【解析】（1）確定圓的圓心與半徑，設出直線方程，利用直線l和圓相切，建立方程，即可求得結論；
（2）將直線l的方程和圓的方程聯立，利用韋達定理，及+與共線，結合根的判別式，可得結論．