Question

【題目】在梯形ABCD中，DC∥AB，DC⊥CB，E是AB的中點，且AB=2BC=2CD=4（如圖所示），將△ADE沿DE翻折，使AB=2（如圖所示），F是線段AD上一點，且AF=2DF．

（Ⅰ）求四棱錐A-BCDE的體積；

（Ⅱ）在線段BE上是否存在一點G，使EF∥平面ACG？若存在，請指出點G的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）線段BE上存在一點G，G是BE上靠近點B的三等分點，使EF∥平面ACG．

【解析】

（Ⅰ）取BE中點O，連結AO，證明AO⊥平面BCDE，即可計算四棱錐A-BCDE的體積。

（Ⅱ）過F作FH∥DC，交AC于H，在EB上取EG=FH，連結GH，證明FHEG，即可證明EF∥，問題得解。

解：（Ⅰ）∵在梯形ABCD中，DC∥AB，DC⊥CB，E是AB的中點，AB=2BC=2CD=4（如圖1所示），

將△ADE沿DE翻折，使AB=2（如圖2所示），

,∴平面ABE⊥

∴平面ABE⊥平面BCDE，四邊形BCDE是以2為邊長的正方形，

取BE中點O，連結AO，則AO⊥BE，

∴AO⊥平面BCDE，且AO==，

∴四棱錐A-BCDE的體積V===．

（Ⅱ）過F作FH∥DC，交AC于H，在EB上取EG=FH，連結GH，

∵F是線段AD上一點，且AF=2DF．

,

∴EG=2GB，即G是BE上靠近點B的三等分點，

此時，FHEG，∴四邊形GEFH是平行四邊形，∴EF∥GH，

∵EF平面ACG，GH平面ACG，

∴線段BE上存在一點G，G是BE上靠近點B的三等分點，使EF∥平面ACG．