Question

【題目】已知，函數（是自然對數的底數）．

（Ⅰ）若，證明：曲線沒有經過點的切線；

（Ⅱ）若函數在其定義域上不單調，求的取值范圍；

（Ⅲ）是否存在正整數，當時，函數的圖象在軸的上方，若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) ；(Ⅲ)答案見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數的導數，求出切線方程，化簡得： ，令，根據函數的單調性判斷方程無解，從而證明結論即可；（Ⅱ）分離參數，得，令（），根據函數的單調性求出參數的范圍即可；（Ⅲ）問題等價于，令，根據函數的單調性求出的最小值，從而證明結論即可；

試題解析：（Ⅰ）因為，所以，此時，

設曲線在點處的切線經過點

則曲線在點處的切線

所以

化簡得：

令，則，

所以當時， ， 為減函數，

當時， ， 為增函數，

所以，

所以無解

所以曲線的切線都不經過點

（Ⅱ）函數的定義域為，因為，

所以在定義域上不單調，等價于有變號零點，

令，得，令（）．

因為，令， ，

所以是上的減函數，又，故是的唯一零點，

當， ， ， 遞增；

當， ， ， 遞減；

故當時， 取得極大值且為最大值，

所以，即的取值范圍是

（Ⅲ）函數的圖象在軸的上方，即對任意， 恒成立．

．令（），

所以

（1）當時， ，即

①當時， ， 是減函數，所以；

②當時， ，

令，則，所以是增函數，

所以當時， ，即

所以在上是增函數，所以，

當時，取，且使，即，

則，

因為，故存在唯一零點，

即有唯一的極值點且為最小值點

所以，又，即，

故，設，

因為，所以是上的減函數，

所以，即

所以當時，對任意， 恒成立

（2）當時， ，因為，取，

則， ，

所以不恒成立，

綜上所述，存在正整數滿足要求，即當時，函數的圖象在軸的上方