Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣1）ex+ （其中a∈R）有兩個零點，則a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞,﹣1）∪（﹣1,0）
【解析】解：f′（x）=）=（x﹣1）ex+ex+ax=x（ex+a），

①當a≥0時，ex+a＞0，∴x∈（﹣∞，0）時，f′（x）＜0，x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，

f（x）在（﹣∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，且f（0）=0，

此時f（x）=（x﹣1）ex+ （其中a∈R）不存在有兩個零點；

②當a=﹣1時，f′（x）≥0恒成立，函數(shù)f（x）單調，此時f（x）=（x﹣1）ex+ （其中a∈R）不存在有兩個零點；

③當a＜0且a≠﹣1時，令f′（x）=0，解得x1=0，x2=ln（﹣a） （a≠﹣1）．

a∈（﹣1，0）時，x2＜0，函數(shù)在（﹣∞，ln（﹣a）））遞增，在（ln（﹣a），0）遞減，在（0，+∞）遞增，而f（0）=0，此時函數(shù)恰有兩個零點；

a∈（﹣∞，﹣1），時，x2＞0，函數(shù)在（﹣∞，0）遞增，在（0，ln（﹣a））遞減，在（ln（﹣a），+∞）遞增，而f（0）=0，此時函數(shù)恰有兩個零點；

綜上，則a的取值范圍是：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）

所以答案是：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）