Question

【題目】已知函數f（x）=alnx+b（a，b∈R），曲線f（x）在x=1處的切線方程為x﹣y﹣1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）證明： ；
（Ⅲ）已知滿足xlnx=1的常數為k．令函數g（x）=mex+f（x）（其中e是自然對數的底數，e=2.71828…），若x=x0是g（x）的極值點，且g（x）≤0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的導函數 ，

由曲線f（x）在x=1處的切線方程為x﹣y﹣1=0，知f'（1）=1，f（1）=0，

所以a=1，b=0．

（Ⅱ）令 = ，則 = ，

當0＜x＜1時，u'（x）＜0，u（x）單調遞減；當x＞1時，u'（x）＞0，u（x）單調遞增，

所以，當x=1時，u（x）取得極小值，也即最小值，該最小值為u（1）=0，

所以u（x）≥0，即不等式 成立．

（Ⅲ）函數g（x）=mex+lnx（x＞0），則 ，

當m≥0時，g'（x）＞0，函數g（x）在（0，+∞）內單調遞增，g（x）無極值，不符合題意；

當m＜0時，由 ，得 ，

結合y=ex， 在（0，+∞）上的圖象可知，關于x的方程 一定有解，其解為x0（x0＞0），且當0＜x＜x0時，g'（x）＞0，g（x）在（0，x0）內單調遞增；

當x＞x0時，g'（x）＜0，g（x）在（x0，+∞）內單調遞減．

則x=x0是函數g（x）的唯一極值點，也是它的唯一最大值點，x=x0也是g'（x）=0在（0，+∞）上的唯一零點，即 ，則 ．

所以g（x）max=g（x0）= = ．

由于g（x）≤0恒成立，則g（x）max≤0，即 ，（*）

考察函數 ，則 ，

所以h（x）為（0，+∞）內的增函數，且 ， ，

又常數k滿足klnk=1，即 ，

所以，k是方程 的唯一根，

于是不等式（*）的解為x0≤k，

又函數 （x＞0）為增函數，故 ，

所以m的取值范圍是

【解析】（Ⅰ）求出導函數，根據切線方程和導函數的關系求出參數的值；

（Ⅱ）構造函數 = ，通過導函數求出函數的最小值，得出u（x）≥0，得出結論成立．（Ⅲ）求出導函數 ，對參數m分類討論，得出函數的極值情況，得出函數的最大值，把恒成立問題轉化為最值問題求解；

，通過構造函數 ，結合題意得出x0≤k，構造函數 ，得出m的取值范圍．

【考點精析】掌握函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．