Question

【題目】設a，b∈R，函數 ，g（x）=ex（e為自然對數的底數），且函數f（x）的圖象與函數g（x）的圖象在x=0處有公共的切線．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在區間（﹣∞，0）內恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=x2+2ax+b，g'（x）=ex，

由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1

（Ⅱ）f'（x）=x2+2ax+1=（x+a）2+1﹣a2，

當a2≤1時，即﹣1≤a≤1時，f'（x）≥0，從而函數f（x）在定義域內單調遞增，

當a2＞1時， ，此時

若 ，f'（x）＞0，則函數f（x）單調遞增；

若 ，f'（x）＜0，則函數f（x）單調遞減；

若 時，f'（x）＞0，則函數f（x）單調遞增．

（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=ex﹣x2﹣2ax﹣1，則h（0）=e0﹣1=0．h'（x）=ex﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=ex﹣2x﹣2a，則u'（x）=ex﹣2．

當x≤0時，u'（x）＜0，從而h'（x）單調遞減，

令u（0）=h'（0）=1﹣2a=0，得 ．

先考慮 的情況，此時，h'（0）=u（0）≥0；

又當x∈（﹣∞，0）時，h'（x）單調遞減，所以h'（x）＞0；

故當x∈（﹣∞，0）時，h（x）單調遞增；

又因為h（0）=0，故當x＜0時，h（x）＜0，

從而函數g（x）﹣f（x）在區間（﹣∞，0）內單調遞減；

又因為g（0）﹣f（0）=0，所以g（x）＞f（x）在區間（﹣∞，0）恒成立．

接下來考慮 的情況，此時，h'（0）＜0，

令x=﹣a，則h'（﹣a）=e﹣a＞0．

由零點存在定理，存在x0∈（﹣a，0）使得h'（x0）=0，

當x∈（x0，0）時，由h'（x）單調遞減可知h'（x）＜0，所以h（x）單調遞減，

又因為h（0）=0，故當x∈（x0，0）時h（x）＞0．

從而函數g（x）﹣f（x）在區間（x0，0）單調遞增；

又因為g（0）﹣f（0）=0，所以當x∈（x0，0），g（x）＜f（x）．

綜上所述，若g（x）＞f（x）在區間（﹣∞，0）恒成立，則a的取值范圍是

【解析】（Ⅰ）求出兩個函數的導數，利用函數f（x）的圖象與函數g（x）的圖象在x=0處有公共的切線．列出方程即可求解b．（Ⅱ）求出導函數f'（x）=，通過﹣1≤a≤1時，當a2＞1時，分別判斷導函數的符號，推出函數的單調區間．（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=ex﹣x2﹣2ax﹣1，可得h（0）0．求出h'（x）=ex﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=ex﹣2x﹣2a，求出導數u'（x）=ex﹣2．當x≤0時，u'（x）＜0，從而h'（x）單調遞減，求出 ．考慮 的情況， 的情況，分別通過函數的單調性以及函數的最值，推出a的范圍即可．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．