Question

【題目】如圖，從橢圓 上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F1 ， 又點A是橢圓與x軸正半軸的交點，點B是橢圓與y軸正半軸的交點，且 ． （Ⅰ） 求橢圓的方程；
（Ⅱ） 若M是橢圓上的動點，點N（4，2），求線段MN中點Q的軌跡方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 由題意可知， ，∵AB∥OP，
∴kAB=kOP ，
∴ ，
∵a2=b2+c2 ，
∴a2=2c2 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴橢圓方程為 ．
（Ⅱ） 設Q（x，y），已知點Q為線段MN中點，N（4，2），則M（2x﹣4，2y﹣2），
∵M是橢圓 上的動點，
∴ ，
即 ．
【解析】（Ⅰ） 由題意可知：求得A，B，F1 ， P點坐標，由kAB=kOP ， 根據斜率公式，求得b和c的值，根據橢圓的性質， ，由 ，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（Ⅱ） 由題意可知：根據中點坐標公式，求得M點坐標，將M代入橢圓方程，即可求得Q的軌跡方程．