Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2mx+m2+4m﹣2．
（1）若函數f（x）在區間[0，1]上是單調遞減函數，求實數m的取值范圍；
（2）若函數f（x）在區間[0，1]上有最小值﹣3，求實數m的值．

Answer 1

【答案】解：f（x）=（x﹣m）2+4m﹣2．
（1）由f（x）在區間[0，1]上是單調遞減函數，得m≥1．
故實數m的取值范圍是[1，+∞）．
（2）①當m＜0時，f（x）在區間[0，1]上單調遞增，f（x）min=f（0）=m2+4m﹣2=﹣3．
解得m=﹣2﹣，或m=﹣2+；
②當0≤m≤1時，f（x）min=f（m）=4m﹣2=﹣3，解得m=﹣（舍）；
③當m＞1時，f（x）在[0，1]上單調遞減，f（x）min=f（1）=m2+2m﹣1=﹣3．無解；
綜上，實數m的值是﹣2±．
【解析】（1）由函數f（x）在區間[0，1]上是單調遞減函數，知[0，1]為函數f（x）減區間的子集，由此可得m的取值范圍；
（2）對m分類討論，求出f（x）在區間[0，1]上的最小值，使其等于﹣3，解出即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數在閉區間上的最值的相關知識，掌握當時，當時，；當時在上遞減，當時，．