Question

【題目】已知函數，實數是常數.

（Ⅰ)若=2，函數圖像上是否存在兩條互相垂直的切線，并說明理由.

（Ⅱ）若在上有零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數圖像上不存在兩條互相垂直的直線（2）的取值范圍是.

【解析】【試題分析】（1）借助導數的幾何意義，建立不等式進行分析推證；（2）先將問題進行等價轉化與化歸，再構造方程進行分析探求：

(Ⅰ) ， ，

則

所以，對于任意，均有，

故函數圖像上不存在兩條互相垂直的直線

(Ⅱ)解：因為在上有零點，

所以在區間上的最小值小于等于0.

因為, 令,得.

（1）當時，即時，

因為對成立，所以在上單調遞增，

此時在上的最小值為

所以，

解得，所以此種情形不成立，

（2）當，即時，

①若, 則對成立，所以在上單調遞增，

此時在上的最小值為所以，

解得，所以

②若，

若，則對成立， 對成立.

則在上單調遞減，在上單調遞增，此時在上的最小值為所以有，解得，

若時，注意到,而，

此時結論成立.

綜上， 的取值范圍是.