Question

【題目】在棱長為2的正方體中，
（1）求異面直線BD與B1C所成的角
（2）求證：平面ACB1⊥平面B1D1DB．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接B1D1，CD1，

可得△C1BD1為等邊三角形，

由B1D1∥BD，

可得∠CB1D1為異面直線BD與B1C所成的角（或補角），

由∠CB1D1=60°，

可得異面直線BD與B1C所成的角為60°

（2）解：證明：設AC和BD相交于O，

連接OB1，

由正方形ABCD可知AC⊥BD，

△ACB1為等邊三角形，O為AC的中點，

可得AC⊥OB1，

BD∩OB1=O，BD平面B1D1DB，OB1平面B1D1DB，

即有AC⊥平面B1D1DB，

又AC平面ACB1，

則平面ACB1⊥平面B1D1DB．

【解析】（1）連接B1D1 ， CD1 ， 由B1D1∥BD，可得∠CB1D1為異面直線BD與B1C所成的角（或補角），運用等邊三角形的定義，即可得到所求角；（2）設AC和BD相交于O，連接OB1 ， 由正方形對角線垂直和等邊三角形的性質，可得AC⊥平面B1D1DB，再由面面垂直的判定定理，即可得證．
【考點精析】關于本題考查的異面直線及其所成的角和平面與平面垂直的判定，需要了解異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．