Question

【題目】已知函數f（x）=ex-x2+a，x∈R，曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程為y=bx．

（1）求f（x）的解析式；

（2）當x∈R時，求證：f（x）≥-x2+x；

（3）若f（x）≥kx對任意的x∈（0，+∞）恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1);(2)詳見解析；（3）

【解析】

（1）由題意利用導函數與原函數的關系得到關于a,b的方程組，求解方程組即可確定函數的解析式；

（2）構造函數φ（x）=f（x）+x2-x=ex-x-1，利用導函數的性質確定其最小值即可證得題中的不等式；

（3）將原問題轉化為≥k對任意的x∈（0，+∞）恒成立，然后構造函數結合(2)中的結論求解實數k的取值范圍即可.

（1）f（x）=ex-x2+a，f'（x）=ex-2x．

由已知，f（x）=ex-x2-1．

（2）令φ（x）=f（x）+x2-x=ex-x-1，φ'（x）=ex-1，由φ'（x）=0，得x=0，

當x∈（-∞，0）時，φ'（x）＜0，φ（x）單調遞減；

當x∈（0，+∞）時，φ'（x）＞0，φ（x）單調遞增．

∴φ（x）min=φ（0）=0，從而f（x）≥-x2+x．

（3）f（x）＞kx對任意的x∈（0，+∞）恒成立

≥k對任意的x∈（0，+∞）恒成立，

令g（x）=，x＞0，

∴g′（x）=，

由（2）可知當x∈（0，+∞）時，ex-x-1＞0恒成立，

令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．

∴g（x）的增區間為（1，+∞），減區間為（0，1）．g（x）min=g（1）=0．

∴k≤g（x）min=g（1）=e-2，∴實數k的取值范圍為（-∞，e-2]．