Question

【題目】如圖，已知四邊形為直角梯形，為矩形，平面平面，∥，，，．

（1）若點為中點，求證：平面；

（2）若點為線段上一動點，求與平面所成角的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）在直角梯形中根據長度關系和勾股定理，可證，再由已知條件可得面，從而有，在矩形中，可得，可證出，即證證明結論；

（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，確定出坐標，設，，求出平面的法向量，進而求出直線與平面所成角正弦的取值范圍，即可求解.

（1）法一：在直角梯形中，，

，故由勾股定理知，

取中點，則中，

，又

中，，故．

因為平面平面，交線為，

所以面．

面，故．

和，，

，故．

故，

即，即．

又，面，故面．

法二：

因為平面平面，交線為，

面且．所以面．

建立空間直角坐標系如圖，則

．

，，，故

，．

，又，

面，故面．

（2）法一：因為平面平面，交線為，

面且．所以面，

建立空間直角坐標系如圖，則

，

設，則

則

設平面的法向量為

∴，即，故，

取，則，故

平面的一個法向量為．

設與平面所成角為，

∴

∴當時取最大值，當時取最小值

故與平面所成角的取值范圍為．

法二：根據（1）知，面．

建立空間直角坐標系如圖，則，

設，則

則

設平面的法向量為

∴，即，

故，取，則，

故平面的一個法向量為

．

設與平面所成角為，

∴

，

∴當時取最大值，當時取最小值

故與平面所成角的取值范圍為．