Question

【題目】將集合中的元素作全排列，使得除了最左端的一個數之外，對于其余的每個數，在的左邊某個位置上總有一個數與之差的絕對值為1.則滿足條件的排列個數為____________.

Answer 1

【答案】128

【解析】

設對于合適條件的某一排列，排在左邊的第一個元素為.則在其余七個數中，大于的個數必定按遞增的順序排列；而小于的個數必定按遞降的順序排列（位置不一定相鄰）.

事實上，對任意大于的數，設.

若排在的左邊，則與相差1的另一數就必須排在的左邊；同理，與相差1的另一數又必須排在的左邊；……則該排列的第二個數不可能與相差1，矛盾.

因此，必定排在 的右邊.

同理，小于的個數必定按遞降的順序排列.

由于當排在左邊的第一個元素確定后，右邊還有七個空位，從中任選個位置填寫大于的數（其余各位置則填寫小于的數），選法種數為；而當位置選定后，填數方法隨之唯一確定.

因此，所有排法種數為.