Question

【題目】如圖，已知是上、下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸折疊，使二面角為直二面角.

（1）證明： ；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）由OA⊥OO1，OB⊥OO1，知∠AOB是所折成的直二面角的平面角，從而OA⊥OB，進而推導出OC⊥BO1，由此能證明AC⊥BO1．

（2）推導出BO1⊥平面AOC，設OC∩O1B=E，過點E作EF⊥AC于F，連結O1F，則∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角，由此能求出二面角O﹣AC﹣O1的余弦值．

試題解析：

證明：（1）由題設知OA⊥OO1，OB⊥OO1，

所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

即OA⊥OB

從而AO⊥平面OBCO1，

OC是AC在面OBCO1內的射影

因為tan∠OO1A==，tan∠O1OC==，

所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，

從而OC⊥BO1

由三垂線定理得AC⊥BO1．

解：（2）由（1）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC

設OC∩O1B=E，過點E作EF⊥AC于F，連結O1F（如圖），

則EF是O1F在平面AOC 內的射影，

由三垂線定理得O1F⊥AC

所以∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角

由題設知OA=3，OO1=，O1C=1，

所以=2，AC==，

從而=，

又O1E=OO1sin30°=，

所以sin∠O1FE==，

∴二面角O﹣AC﹣O1的正弦值為．