Question

【題目】已知關于 的函數 ，

（I）試求函數的單調區間；

（II）若在區間 內有極值，試求a的取值范圍；

（III） 時，若有唯一的零點 ，試求 .（注：為取整函數，表示不超過的最大整數，如 ；以下數據供參考：

Answer 1

【答案】（I）單調遞減區間；單調遞增區間；（II）f(x)在區間(0,1)內有極值，則a的取值范圍為.（III）.

【解析】

（I）由題意的定義域為 ，對a分類討論：當a≥0時，當a＜0時，即可得出單調性；
（II） , 所以的定義域也為，且，

令h（x）=2x3-ax-2，x∈[0，+∞），h′（x）=6x2-a，當a＜0時，可得：函數h（x）在（0，1）內至少存在一個變號零點x0，且x0也是f′（x）的變號零點，此時f（x）在區間（0，1）內有極值．當a≥0時，由于函數f（x）單調，因此函數f（x）無極值．

（III）a＞0時，由（II）可知：f（1）=3知x∈（0，1）時，f（x）＞0，因此x0＞1．又f′（x）在區間（1，+∞）上只有一個極小值點記為x1，由題意可知：x1即為x0．得到 ，即 ，消去可得： ，a＞0，令 分別研究單調性即可得出x0的取值范圍．

（I）由題意的定義域為

（i）若，則在上恒成立，為其單調遞減區間；

（ii）若，則由得，

時，，時，，

所以為其單調遞減區間；為其單調遞增區間；

（II） 所以的定義域也為，

且

令 (*)

則 (**)

（i）當時, 恒成立,所以為上的單調遞增函數，

又，所以在區間內存在唯一一個零點，

由于為上的單調遞增函數，所以在區間內，

從而在，所以此時在區間內有唯一極值且為極小值，適合題意,

（ii）當時,即在區間(0,1)上恒成立,此時, 無極值.

綜上所述,若在區間內有極值，則a的取值范圍為.

(III) ,由（II）且知時, .

由(**)式知，。

由于，所以，

又由于，

所以

亦即 ，

由

從而得

所以，,

從而，又因為有唯一的零點，所以 即為,

消去a,得

時令,

則在區間上為單調遞增函數, 為單調遞減函數,

且