Question

【題目】已知橢圓的上頂點為，直線與該橢圓交于兩點，且點恰為的垂心，則直線的方程為______ .

Answer 1

【答案】

【解析】

設PQ直線y＝x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），，3x2+4mx+2m2﹣2＝0，再由根的判別式和根與系數的關系進行求解．

上頂點，右焦點F為垂心

因為＝﹣1，且FM⊥l，

所以k1＝1，

所以設PQ直線y＝x+m，

且設P（x1，y1），Q（x2，y2）

由

消y，得3x2+4mx+2m2﹣2＝0

△＝16m2﹣12（2m2﹣2）＞0，m2＜3．

y1y2＝（x1+m）（x2+m）＝x1x2+m（x1+x2）+m2．

又F為△MPQ的垂心，

∴PF⊥MQ，∴

又

∴

∴，

∴

經檢驗滿足m2＜3

∴存在滿足條件直線l方程為：x﹣y+1＝0，3x﹣3y﹣4＝0

∵x﹣y+1＝0過M點 即MP重合 不構成三角形，

∴3x﹣3y﹣4＝0滿足題意．

故答案為：