Question

【題目】已知函數， .

（1）討論的單調性；

（2）當時，令，其導函數為，設是函數的兩個零點，判斷是否為的零點？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求導，再分類討論，根據導數和函數單調性的關系即可求出，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）=x2﹣2lnx﹣x，x1，x2是函數g（x）的兩個零點，不妨設0＜x1＜x2，可得x12﹣2lnx1﹣x1=0，x22﹣2lnx2﹣x2=0，兩式相減化簡可得x1+x2﹣1= ，再對g（x）求導，判斷的符號即可證明

試題解析：

（1）依題意知函數的定義域為，且.

①當時， ，所以在上單調遞增.

②當時，由得： ，

則當時；當時.

所以在單調遞增，在上單調遞減.

（2）不是導函數的零點.

證明如下：由（Ⅰ）知函數.

∵， 是函數的兩個零點，不妨設，

∴，兩式相減得：

即：

又.

則

.

設，∵，∴，

令， .

又，∴，∴在上是増函數，

則，即當時， ，

從而，

又所以，

故，所以不是導函數的零點.