【題目】已知長方體
中， 
為
的中點， 
在棱
上， 
， 
.
（1）若異面直線
與
互相垂直，求
的長；
（2）當四棱錐
的體積為
時，求證：直線
平面
.
【答案】（1）
；（2）見解析.
【解析】試題分析：如圖，以
為原點，分別以
所在的直線為
軸、
軸、
軸建立空間直角坐標系.得到相應點和相應向量的坐標，利用空間向量的夾角公式可得
的長
（2）證明：因為
是長方體， 
在棱
上，所以
平面
，
所以四棱錐
的體積
，解得
.
此時
為
的中點，所以
. 利用空間向量的知識可證得直線
平面
..
試題解析：（1）如圖，以
為原點，分別以
所在的直線為
軸、
軸、
軸建立空間直角坐標系.
則
， 
， 
， 
， 
， 
， 
.
設
，則
， 
，
因為
，所以
，即
，解得
.
所以，當異面直線
與
互相垂直時， 
.
（2）證明：因為
是長方體， 
在棱
上，所以
平面
，
所以四棱錐
的體積
，解得
.
此時
為
的中點，所以
.
由（1）可知
， 
， 
.
設平面
的法向量為
，則
，即
，
令
，得
， 
，所以
，
因為
，
所以
，因為直線
平面
，
所以直線
平面
.
綜合自測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左焦點為
,過點
做
軸的垂線交橢圓于
兩點,且
.
(1)求橢圓
的標準方程;
(2)若
為橢圓短軸的上頂點，直線
不經過點且與相交于
兩點，若直線
與直線
的斜率的和為
，問：直線是否過定點？若是，求出這個定點，否則說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，橢圓
： 
的焦距與橢圓
： 
的短軸長相等，且
與
的長軸長相等，這兩個橢圓在第一象限的交點為
，直線
經過
在
軸正半軸上的頂點
且與直線
（
為坐標原點）垂直， 
與
的另一個交點為
， 
與
交于
， 
兩點.
（1）求
的標準方程；
（2）求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，試求函數y＝
(x>0)的最小值；
(2)對于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立，試求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】假設關于某設備的使用年限
（年）和所支出的維修費用
（萬元）有如下統計資料：
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|
|
|
|
|
|
若由資料知， 
對
呈線性相關關系，試求：
（1）回歸直線方程；
（2）估計使用年限為10年時，維修費用約是多少？
參考公式：回歸直線方程： 
.其中
（注： 
)
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】右圖是一個幾何體的平面展開圖，其中ABCD為
正方形， E、F分別為PA、PD的中點，在此幾何體中，
給出下面四個結論：
①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；
③直線EF//平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD.
其中正確結論的個數是
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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