Question

【題目】定義域為的函數滿足：對于任意的實數都有 成立，且當時，．

（Ⅰ）判斷函數的奇偶性，并證明你的結論；

（Ⅱ）證明在上為減函數；

（Ⅲ）若，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）為奇函數，證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ） .

【解析】

（Ⅰ）根據題意，令，求出，令，代入化簡即可得到從而判斷函數的奇偶性. （Ⅱ）根據單調性的定義，任取且，做差，根據題意化簡判斷即可. （Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）問的結論可知，為奇且減，所以將所求變形可得，進而得到，求解即可得到的范圍.

（Ⅰ）令，則,

令，則 且，，且定義域為

為奇函數.

（Ⅱ）任取且，，

，,

,

上為減函數.

（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）問的結論可知，為奇且減，

， ，

上為減函數, ,

實數的取值范圍為 .