Question

【題目】在三棱錐， 和都是邊長為的等邊三角形， ， 、分別是、的中點.

（1）求證： 平面；

（2）連接，求證： 平面；

（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）見解析（3）.

【解析】試題分析：（1）由三角形中位線定理，得出OD∥PA，結合線面平行的判定定理，可得OD∥平面PAC；

（2）等腰△PAB和等腰△CAB中，證出PO=OC=1，而PC=，由勾股定理的逆定理，得PO⊥OC，結合PO⊥AB，可得PO⊥平面ABC；

（3）由（2）易知PO是三棱錐P﹣ABC的高，算出等腰△ABC的面積，再結合錐體體積公式，可得三棱錐的體積．

試題解析：

(1)∵、分別為、的中點.

∴.

又平面. 平面.

∴平面.

（2）連接.

∵， .

∴，

又為的中點，

∴， ，

同理， ， ，

又，而，∴.

又. 平面， 平面.

∴平面.

（3）由（II）可知平面.

∴為三棱錐的高， .

三棱錐的體積為：

.