Question

【題目】已知函數，，如果對于定義域內的任意實數，對于給定的非零常數，總存在非零常數，恒有成立，則稱函數是上的級類增周期函數，周期為，若恒有成立，則稱函數是上的級類周期函數，周期為.

（1）已知函數是上的周期為1的2級類增周期函數，求實數的取值范圍；

（2）已知，是上級類周期函數，且是上的單調遞增函數，當時，，求實數的取值范圍；

（3）是否存在實數，使函數是上的周期為的級類周期函數，若存在，求出實數和的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當時，，；當時，，.

【解析】

（1）由題意f（x+1）＞2f（x）整理可求得a＜x﹣1，令x﹣1＝t（t≥2），由g（t）＝t在[2，+∞）上單調遞增，即可求得實數a的取值范圍；（2）由x∈[0，1）時，f（x）＝2x，可求得當x∈[1，2）時，f（x）＝mf（x﹣1）＝m2x﹣1，…當x∈[n，n+1）時，f（x）＝mn2x﹣n，利用f（x）在[0，+∞）上單調遞增，可得m＞0且mn2n﹣n≥mn﹣12n﹣（n﹣1），從而可求實數m的取值范圍；（3）f（x+T）＝Tf（x）對一切實數x恒成立，即cosk（x+T）＝Tcoskx對一切實數恒成立，分當k＝0時，T＝1；當k≠0時，要使cosk（x+T）＝Tcoskx恒成立，只有T＝±1，于是可得答案．

（1）由題意可知：f（x+1）＞2f（x），即﹣（x+1）2+a（x+1）＞2（﹣x2+ax）對一切[3，+∞）恒成立，

整理得：（x﹣1）a＜x2﹣2x﹣1，

∵x≥3，

∴ax﹣1，

令x﹣1＝t，則t∈[2，+∞），g（t）＝t在[2，+∞）上單調遞增，

∴g（t）min＝g（2）＝1，

∴a＜1．

（2）∵x∈[0，1）時，f（x2x，

∴當x∈[1，2）時，f（x）＝mf（x﹣1）＝m2x﹣1，…

當x∈[n，n+1）時，f（x）＝mf（x﹣1）＝m2f（x﹣2）＝…＝mnf（x﹣n）＝mn2x﹣n，

即x∈[n，n+1）時，f（x）＝mn2x﹣n，n∈N*，

∵f（x）在[0，+∞）上單調遞增，

∴m＞0且mn2n﹣n≥mn﹣12n﹣（n﹣1），

即m≥2．

（3）由已知，有f（x+T）＝Tf（x）對一切實數x恒成立，

即cosk（x+T）＝Tcoskx對一切實數恒成立，

當k＝0時，T＝1；

當k≠0時，

∵x∈R，

∴kx∈R，kx+kT∈R，于是coskx∈[﹣1，1]，

又∵cos（kx+kT）∈[﹣1，1]，

故要使cosk（x+T）＝Tcoskx恒成立，只有T＝±1，

當T＝1時，cos（kx+k）＝coskx得到 k＝2nπ，n∈Z且n≠0；

當T＝﹣1時，cos（kx﹣k）＝﹣coskx得到﹣k＝2nπ+π，

即k＝（2n+1）π，n∈Z；

綜上可知：當T＝1時，k＝2nπ，n∈Z；

當T＝﹣1時，k＝（2n+1）π，n∈Z．