Question

【題目】如圖①在直角梯形ABCP中，，，，，E，F，G分別是線段PC，PD，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將折起，使平面平面ABCD如圖②.

（1）求證:平面EFG；

（2）求二面角G—EF—D的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

(1) 以D坐標(biāo)原點(diǎn)直線DADCDP分別為x,y與z軸建立空間直角坐標(biāo)系,再計(jì)算平面的法向量,證明即可.

(2)根據(jù)(1)中建立的空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解二面角大小即可.

（1）在圖②中,平面平面ABCD,平面平面, 平面ABCD,,如圖以D坐標(biāo)原點(diǎn)直線DADCDP分別為x,y與z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則有,

,設(shè)平面GEF用法向量,由法向量的定義得: ,不妨設(shè),所以,則, 點(diǎn)平面EFG,平面EFG.

（2）由（1）知平面GEF法向量,因平面EFD與坐標(biāo)平面PDC重合,則它的一個(gè)法向量為,設(shè)二面角G-EF-D為,則由圖觀察二面角G-EF-D銳角, .故二面角G-EF-D的大小為.

解法二:（1）,根據(jù)面面平行的判定定理, 平面平面PAB,又面PAB, 平面EFG.

（2）平面平面ABCD,, 平面PCD,而面EFD過C作交長(zhǎng)線于R點(diǎn)連GR,根據(jù)三垂線定理知即為二面角的平面角, ,故二面角G-EF-D大小為.