Question

【題目】已知橢圓:的左右焦點(diǎn)分別是，拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，且滿足

（1）求橢圓的方程；

（2）與拋物線相切于第一象限的直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求直線斜率的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

(1)首先可以通過(guò)拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn)得出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過(guò)列出等式并解出的值，最后帶入拋物線方程中即可得出結(jié)果；

(2)首先可以設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)并寫(xiě)出切線方程，然后將切線方程與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)為并根據(jù)切線方程與橢圓交于兩點(diǎn)并求出的值，然后根據(jù)的值寫(xiě)出的中點(diǎn)坐標(biāo)以及的垂直平分線方程，最后寫(xiě)出并得出結(jié)果．

(1)因?yàn)閽佄锞�與橢圓有相同的焦點(diǎn)，

所以橢圓的焦點(diǎn)，，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則，解得（舍去），

將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程式可得，又，

聯(lián)立可解得，所以橢圓的方程為；

(2)設(shè)與拋物線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，

將拋物線轉(zhuǎn)化為可知，即切線斜率為，

通過(guò)點(diǎn)斜式方程可知直線，

整理得直線，與軸交點(diǎn)坐標(biāo)

與橢圓方程聯(lián)立可得，

設(shè)，所以，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以的垂直平分線方程為，

即，

因?yàn)?/span>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”號(hào)，此時(shí)取最小值，最小值為．