Question

【題目】已知函數 ，其中a＞0．
（Ⅰ）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）在區間[1，e]上的最小值．（其中e是自然對數的底數）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=2時， ，

，

此時，f（1）=﹣1，f'（1）=0，

故曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=﹣1．

（Ⅱ） 的定義域為（0，+∞）

…

令f'（x）=0得，x=a或x=1

①當0＜a≤1時，

對任意的1＜x＜e，f'（x）＞0，f（x）在[1，e]上單調遞增

f（x）最小=f（1）=1﹣a

②當1＜a＜e時，

x	（1，a）	a	（a，e）
f'（x）	﹣	0	+
f（x）	↘	極小	↗

f（x）最小=f（a）=a﹣1﹣（a+1）lna

②當a≥e時，對任意的1＜x＜e，f'（x）＜0，

f（x）在[1，e]上單調遞減

由①、②、③可知，

【解析】（Ⅰ）根據k切=f（1）求出切線斜率，再由yf（1）=k切（x1）得出切線方程；（Ⅱ）根據a的取值范圍分類討論.
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．