Question

【題目】設函數f（x）的定義域為R，若存在常數M＞0，使得|f（x）|≤M|x|對一切的實數x都成立，則稱f（x）為“倍約束函數”．現給出下列函數： ①f（x）=2x，
②f（x）=x2+1，
③f（x）=sinx+cosx，
④f（x）= ，
⑤f（x）是定義在實數集上的奇函數，且對一切的x1 ， x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|．
其中是“倍約束函數”的有（ ）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵對任意x∈R，存在正數M，都有|f（x）|≤M|x|成立 ∴對任意x∈R，存在正數K，都有 M≥ 成立
∴對于①f（x）=2x，易知存在M=2符合題意；
對于②， = =|x|+ ≥2，故不存在滿足條件的M值，故②錯誤；
對于③，f（x）=sinx+cosx，由于x=0時，|f（x）|≤M|x|不成立，故③錯誤；
對于④ ， = ≤ 恒成立，故④正確；
對于⑤，當x1=x，x2=0時，由|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|得到|f（x）|≤2|x|成立，這樣的M存在，故⑤正確；
故是“倍約束函數”的函數有3個
故選C．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的定義域及其求法和函數的值域的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零；求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的．