Question

【題目】已知圓M的方程為x2+（y﹣2）2=1，直線l的方程為x﹣2y=0，點P在直線l上，過P點作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．
（1）若∠APB=60°，試求點P的坐標；
（2）若P點的坐標為（2，1），過P作直線與圓M交于C，D兩點，當 時，求直線CD的方程；
（3）求證：經過A，P，M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：設P（2m，m），由題可知MP=2，所以（2m）2+（m﹣2）2=4，

解之得： ，

故所求點P的坐標為P（0，0）或

（2）解：設直線CD的方程為：y﹣1=k（x﹣2），易知k存在，

由題知圓心M到直線CD的距離為 ，所以 ，

解得，k=﹣1或 ，故所求直線CD的方程為：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0

（3）證明：設P（2m，m），MP的中點 ，

因為PA是圓M的切線，所以經過A，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，

故其方程為：

化簡得：x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，此式是關于m的恒等式，

故x2+y2﹣2y=0且（2x+y﹣2）=0，

解得 或

所以經過A，P，M三點的圓必過定點（0，2）或（ ， ）

【解析】（1）設P（2m，m），代入圓方程，解得m，進而可知點P的坐標．（2）設直線CD的方程為：y﹣1=k（x﹣2），由圓心M到直線CD的距離求得k，則直線方程可得．（3）設P（2m，m），MP的中點 ，因為PA是圓M的切線，進而可知經過A，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，進而得到該圓的方程，根據其方程是關于m的恒等式，進而可求得x和y，得到經過A，P，M三點的圓必過定點的坐標．