Question

已知函數 
(1)求在點處的切線方程；
(2)證明：曲線與曲線有唯一公共點；
(3)設，比較與的大小, 并說明理由.

Answer 1

(1)

試題分析：(1)首先求出，令，即可求出在點處的切線方程的斜率，代入點斜式即可求出切線方程
(2)令 則，根據，討論在上單調遞增，所以，所以在上單調遞增，
，又，即函數有唯一零點，所以曲線與曲線有唯一公共點.
(3)作差得，令,討論， 的單調性，得到在上單調遞增，而，所以在上，可得時，
（1) ，則，點處的切線方程為：,
(2) 令 ，，則，
且，，
因此，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.
所以，所以在上單調遞增，又，即函數有唯一零點，
所以曲線與曲線有唯一公共點.
(3) 設

令且，則
，所以 在上單調增，且 ，
因此，在上單調遞增，而，所以在上
即當時，且，
所以，
所以當時，