Question

設函數f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0．
(1)求f(x)的解析式；
(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．

Answer 1

（1）f(x)＝x－
（2）見解析

解：(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3，
當x＝2時，y＝．
又f′(x)＝a＋，
于是，解得
故f(x)＝x－．
(2)證明：設P(x₀，y₀)為曲線上任一點，由f′(x)＝1＋知，曲線在點P(x₀，y₀)處的切線方程為y－y₀＝(1＋)·(x－x₀)，即y－(x₀－)＝(1＋)(x－x₀)．
令x＝0得，y＝－，從而得切線與直線x＝0，交點坐標為(0，－)．
令y＝x，得y＝x＝2x₀，從而得切線與直線y＝x的交點坐標為(2x_0,2x₀)．
所以點P(x₀，y₀)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|－||2x₀|＝6．
曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6．