Question

設(shè)函數(shù).
（1）當時，求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大值；
（2）當時，方程有唯一實數(shù)解，求正數(shù)的值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）先求出導(dǎo)數(shù)方程的根，對此根與區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）構(gòu)造函數(shù)，
利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點，并確定函數(shù)的單調(diào)性，得到，消去并化簡得到，通過構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合，得到，從而求出的值.
（1），，
令得. 因為時，，時，，
所以在遞增，在遞減；
①當時，即時，在上遞減，
所以時取最大值；
②當時，即時，在遞增，在遞減，
所以時，取最大值；
③當即時，在遞增，
所以時取最大值；
（2）因為方程有唯一實數(shù)解，即有唯一實數(shù)解，
設(shè)，則，
令，，因為，，
所以（舍去），，
當時，，在上單調(diào)遞減，
當時，，在上單調(diào)遞增，
所以最小值為，
則，即， 
所以，即，
設(shè)，
，恒成立，故在單調(diào)遞增，
至多有一解，
又，所以，即，解得.