Question

【題目】某商場營銷人員進行某商品的市場營銷調查時發現，每回饋消費者一定的點數，該商品每天的銷量就會發生一定的變化，經過試點統計得到以下表：

反饋點數t	1	2	3	4	5
銷量（百件）/天	0.5	0.6	1	1.4	1.7

（Ⅰ）經分析發現，可用線性回歸模型擬合當地該商品銷量（千件）與返還點數之間的相關關系.試預測若返回6個點時該商品每天的銷量；

（Ⅱ）若節日期間營銷部對商品進行新一輪調整.已知某地擬購買該商品的消費群體十分龐大，經營銷調研機構對其中的200名消費者的返點數額的心理預期值進行了一個抽樣調查，得到如下一份頻數表：

返還點數預期值區間 （百分比）	[1,3)	[3,5)	[5,7)	[7,9)	[9,11)	[11,13)
頻數	20	60	60	30	20	10

（1）求這200位擬購買該商品的消費者對返點點數的心理預期值的樣本平均數及中位數的估計值（同一區間的預期值可用該區間的中點值代替；估計值精確到0.1）；

（2）將對返點點數的心理預期值在和的消費者分別定義為“欲望緊縮型”消費者和“欲望膨脹型”消費者，現采用分層抽樣的方法從位于這兩個區間的30名消費者中隨機抽取6名，再從這6人中隨機抽取3名進行跟蹤調查，設抽出的3人中 “欲望緊縮型”消費者的人數為隨機變量，求的分布列及數學期望.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）返回6個點時該商品每天銷量約為2百件；（Ⅱ）（1）均值的估計值為6, 中位數的估計值為5.7；（2）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）先由題中數據得到，根據回歸直線必過樣本中心，將代入，即可求出結果；

（Ⅱ）（1）根據頻數表中數據，每組的中間值乘以該組的頻率，再求和，即可得出平均值；根據中位數兩側的頻率之和均為0.5，即可求出結果；

（2）先求出抽取6名消費者中“欲望緊縮型”消費者人數與“欲望膨脹型”消費者人數，根據題意得到的可能取值，求出其對應概率，即可得出分布列與數學期望.

解：（Ⅰ）由題意可得：，

因為線性回歸模型為，所以，解得；

故關于的線性回歸方程為，

當時，，即返回6個點時該商品每天銷量約為2百件.

（Ⅱ）（1）根據題意，這200位擬購買該商品的消費者對返回點數的心里預期值的平均值的估計值為：

，

中位數的估計值為.

（2）抽取6名消費者中“欲望緊縮型”消費者人數為，

“欲望膨脹型”消費者人數為.

由題意的可能取值為，

所以, ,

故隨機變量的分布列為

X	1	2	3
P

.