Question

【題目】教材曾有介紹：圓上的點處的切線方程為。我們將其結論推廣：橢圓上的點處的切線方程為，在解本題時可以直接應用。已知，直線與橢圓有且只有一個公共點.

（1）求的值；

（2）設為坐標原點，過橢圓上的兩點、分別作該橢圓的兩條切線、，且與交于點。當變化時，求面積的最大值；

（3）在（2）的條件下，經過點作直線與該橢圓交于、兩點，在線段上存在點，使成立，試問：點是否在直線上，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）將直線y＝x代入橢圓方程，得到x的方程，由直線和橢圓相切的條件：判別式為0，解方程可得a的值；（2）設切點A（x1，y1），B（x2，y2），可得切線,,，再將M代入上式，結合兩點確定一條直線，可得切點弦方程，AB的方程為x+my＝1，將直線與橢圓方程聯立，運用韋達定理，求得△OAB的面積，化簡整理，運用基本不等式即可得到所求最大值；（3）點在直線上，因為

設、、，且，于是，向量坐標化，得、、、，將代入橢圓方程，結合、在橢圓上，整理化簡得，即在直線上.

（1）聯立，整理得

依題意，即

（2）設、,于是直線、的方程分別為、

將代入、的方程得且

所以直線的方程為

聯立

顯然，由，是該方程的兩個實根，有，

面積

即

當且僅當時，“=”成立，取得最大值

（3）點在直線上，因為

設、、，且

于是，即、、、

又，

，

，即在直線上.