Question

【題目】橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，過焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）點為橢圓上一動點，連接、，設的角平分線交橢圓的長軸于點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先將代入，得到弦長為，根據題中條件，列出方程組，求解即可得到，進而可求出橢圓方程；

（Ⅱ）先設點，根據題意，得到直線的方程，再由的角平分線交橢圓的長軸于點，得到到直線的相等，進而得出，根據范圍，即可求出結果.

（Ⅰ）將代入中，由可得，

所以弦長為，

故有，解得，所以橢圓的方程為：.

（Ⅱ）設點，又，則直線的方程分別為； .

由題意可知.

由于點為橢圓上除長軸外的任一點，所以，

所以，

因為，，

所以，即

因此， .