Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC= AA1=1，D是棱AA1上的點(diǎn)，DC1⊥BD
（Ⅰ）求證：D為AA1中點(diǎn)；
（Ⅱ）求直線BC1與平面BDC所成角正弦值大��；
（Ⅲ）在△ABC邊界及內(nèi)部是否存在點(diǎn)M，使得B1M⊥面BDC，存在，說(shuō)明M位置，不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）根據(jù)題意以CA、CB、CC1所在直線為x，y，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

∴D（1，0，h），C1（0，0，2），B（0，1，0），B1（0，1，2），

∴ =（﹣1，0，2﹣h）， =（1，﹣1，h），

∴﹣1+h（2﹣h）=0，解得h=1，

∴D為AA1的中點(diǎn)．

（Ⅱ） =（0，﹣1，2），

設(shè)面BDC的法向量 =（x，y，z），

則 ，設(shè)x=1，得 =（1，0，﹣1），

設(shè)直線BC1與平面BDC所成角為θ，

則sinθ= = = ．

∴直線BC1與平面BDC所成角正弦值大小為 ．

（Ⅲ）設(shè)M（x，y，0），0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤1，

∴ ，

∵B1M⊥面BDC，∴ ，

∴ ，解得 ，

∵x＞1，∴在△ABC邊界及內(nèi)部是不存在點(diǎn)M，使得B1M⊥面BDC．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意以CA、CB、CC1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明D為AA1的中點(diǎn)．（Ⅱ）求出面BDC的法向量，利用向量法能求出直線BC1與平面BDC所成角正弦值．（Ⅲ）設(shè)M（x，y，0），0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤1，利用向量法推導(dǎo)出在△ABC邊界及內(nèi)部是不存在點(diǎn)M，使得B1M⊥面BDC．
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．