Question

【題目】已知函數f（x）=xex+ax2+2x+1在x=﹣1處取得極值．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有兩個不同的零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=ex+xex+2ax+2，

∵f（x）在x=1處取得極值，

∴f'（﹣1）=0，解得a=1．經檢驗a=1適合，

∴f（x）=xex+x2+2x+1，f'（x）=（x+1）（ex+2），

當x∈（﹣∞，﹣1）時，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）遞減；

當x∈（﹣1+∞）時，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）遞增

（2）解：函數y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有兩個不同的零點，

等價于xex+x2+2x﹣m=0在[﹣2，2]上恰有兩個不同的實根，

等價于xex+x2+2x=m在[﹣2，2]上恰有兩個不同的實根．

令g（x）=xex+x2+2x，∴g'（x）=（x+1）（ex+2），

由（1）知g（x）在（﹣∞，﹣1）遞減；在（﹣1，+∞）遞增．

g（x）在[﹣2，2]上的極小值也是最小值；

．

又 ，g（2）=8+2e2＞g（﹣2），

∴ ，即

【解析】（1）求出函數的導數，得到關于a的方程，求出a，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）問題等價于xex+x2+2x=m在[﹣2，2]上恰有兩個不同的實根．令g（x）=xex+x2+2x，求出函數的單調性求出g（x）的最小值，從而求出m的范圍即可．