Question

【題目】已知函數f（x）= ． （I）求函數f（x）的單調區間；
（II）若不等式f（x）＞ 恒成立，求整數k的最大值；
（III）求證：（1+1×2）（1+2×3）…（1+n（n×1））＞e2n﹣3（n∈N*）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定義域是（0，1）∪（1，+∞）， f′（x）=﹣ ，
令φ（x）= +lnx，則φ′（x）= ，
x∈（0，1）時，φ′（x）＜0，φ（x）遞減，
∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，
∴f′（x）＜0，f（x）遞減，
x∈（1，+∞）時，φ′（x）＞0，φ（x）遞增，
∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，∴f′（x）＜0，f（x）遞減，
綜上，f（x）在（0，1），（1，+∞）遞減；
（Ⅱ）f（x）＞ （x＞1）恒成立，
令h（x）= ＞k恒成立，
即h（x）的最小值大于k，
h′（x）= ，（x＞1），
令g（x）=x﹣2﹣lnx（x＞1），則g′（x）= ＞0，
故g（x）在（1，+∞）遞增，
又g（3）=1﹣ln3＜0，g（4）=2﹣2ln2＞0，
g（x）=0存在唯一的實數根a，且滿足a∈（3，4），a﹣2﹣lna=0，
故x＞a時，g（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）遞增，
1＜x＜a時，g（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）遞減，
故h（x）min=h（a）= = =a∈（3，4），
故正整數k的最大值是3；
（Ⅲ）法一：由（Ⅱ）知， ＞ ，（x＞1）恒成立，
即lnx＞2﹣ ，故ln（x+1）＞2﹣ ＞2﹣ ，
令x=n（n+1），（n∈N*），得ln[1+n（n+1）]＞2﹣ ，
∴ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]
＞（2﹣ ）+（2﹣ ）+…+[2﹣ ]
=2n﹣3[ + +…+ ]
=2n﹣3（1﹣ ）
=2n﹣3+ ＞2n﹣3，
故（1+1×2）（1+2×3）…（1+n（n×1））＞e2n﹣3（n∈N*）．
法二：要證（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））＞e2n﹣3 ，
只需證ln[（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））]＞2n﹣3，
即ln（1+12）+ln（1+23）+…+ln（1+n（n+1））＞2n﹣3．
可以下面利用數學歸納法證明：
①當n=1時 左邊=ln3＞0，右邊=﹣1，不等式顯然成立；
②當n=2時 左邊=ln3+ln7=ln21 右邊=1 顯然不等式成立；
③假設n=k（ k≥2）時成立，即ln1+12）+ln（1+23）+…+ln（1+k（k+1）＞2k﹣3，
那么n=k+1時，
ln（1+12）+ln（1+23）+…+ln（1+（k+1）（k+2））
=ln（1+12）+ln（1+23）+…+ln（1+k（k+1））+ln（1+（k+1）（k+2））
＞2k﹣3+ln（1+（k+1）（k+2））
∵當k≥2時 ln（1+（k+1）（k+2））＞2．
∴ln（1+12）+ln（1+23）+…+ln（1+（k+1）（k+2））
＞2k﹣3+2=2k﹣1=2（k+1）﹣3，
∴當n=k+1時不等式成立．
綜上所述ln（1+12）+ln（1+23）+…+ln（1+n（n+1））＞2n﹣3成立．
則（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））＞e2n﹣3 ．
【解析】（Ⅰ）對函數f（x）求導數，可判f′（x）＜0，進而可得單調性；（Ⅱ）問題轉化為h（x）k恒成立，通過構造函數可得h（x）min∈（3，4），進而可得k值；（Ⅲ）法一：可得ln（x+1）＞2﹣ ，令x=n（n+1）（n∈N*），一系列式子相加，由裂項相消法可得ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]＞2n﹣3，進而可得答案；法二：利用數學歸納法證明即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．