Question

【題目】已知拋物線C：y2＝2x，過(guò)點(diǎn)E（a，0）的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），且滿足y1y2＝﹣4，以Q為中點(diǎn)的線段的兩端點(diǎn)分別為M，N，其中N在x軸上，M在C上，則a＝_____．|PM|的最小值為_____．

Answer 1

【答案】2 4

【解析】

過(guò)點(diǎn)E（a，0）的直線l的方程設(shè)為x＝my+a，代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合條件，解方程可得a的值；再設(shè)直線PM的方程為x＝ny+b，聯(lián)立拋物線方程，設(shè)M（x3，y3），運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得b＝4，再由弦長(zhǎng)公式和二次函數(shù)的最值求法，可得所求最小值．

過(guò)點(diǎn)E（a，0）的直線l的方程設(shè)為x＝my+a，代入拋物線方程y2＝2x，可得y2﹣2my﹣2a＝0，

所以y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2a＝﹣4，可得a＝2；

設(shè)直線PM的方程為x＝ny+b，聯(lián)立拋物線方程y2＝2x，

可得y2﹣2ny﹣2b＝0，

設(shè)M（x3，y3），所以y1+y3＝2n，y1y3＝﹣2b，

由Q為MN的中點(diǎn)，且N在x軸上，可得y3＝2y2，

即有2y1y2＝﹣2b＝﹣8，可得b＝4，

則|PM|2

24，

當(dāng)n＝0即PM⊥x軸時(shí)，|PM|取得最小值4．

故答案為：2；4．