Question

【題目】在三棱錐中，已知，，，，則三棱錐ABCD體積的最大值是______．

Answer 1

【答案】

【解析】

過作與垂直的平面，交于，過作的垂線，垂足為，則，進而可分析出當取最大值時，三棱錐的體積取最大值，又由，可得B，C都在以A，D為焦點的橢圓上，利用橢圓的幾何意義及勾股定理，求出的最大值即可得結果．

過BC作與AD垂直的平面，交AD于E，過E作BC的垂線，垂足為F，

如圖所示：

，，則三棱錐的體積為

，

故EF取最大值時，三棱錐的體積也取最大值．

由，

可得B，C都在以A，D為焦點的橢圓上，

因為平面BCE與線AD垂直，

所以三角形ADB與三角形ADC全等，即三角形BCE為等腰三角形，

又為定值，所以BE取最大值時，三棱錐的體積也取最大值．

在中，動點B到A，D兩點的距離和為10，

B在以AD為焦點的橢圓上（長軸、焦距分別為、），

此時，，

故BE的最大值為，

此時，

故三棱錐的體積的最大值是．

故答案為：