Question

【題目】已知數列、滿足，，，．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）設數列的前項和為，求證：；

（Ⅲ）設數列的前項和為，求證：當時，．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）推導出數列，可得出，利用基本不等式可得出，再由可得出，利用作差法證得，進而可證得結論；

（Ⅱ）由可得出，結合可推導出，進而得出，再利用放縮法可證得結論成立；

（Ⅲ）由可推導出，進而可得出，再利用累加法及等比數列的求和公式即可證明．

（Ⅰ）因為，則為常數數列，

又，，且，則，

故，，易知，

所以（當且僅當時取等號），

因為，因此．

又，所以；

（Ⅱ）由，有，

又，則，則；

故，即，

所以，

當時，；

當時，，

因此，的前項和；

（Ⅲ）由，得，

又，則，故，

所以，

因此，的前項和．