Question

【題目】已知數列滿足，．記，設數列的前項和為，求證：當時．

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析．

【解析】

（Ⅰ）利用數學歸納法證明，當時顯然成立，假設當時不等式成立，即證成立即可；

（Ⅱ）要證，則需證：，構造函數，用導數法求函數的最小值，再由可得結論；

（Ⅲ）先證明和，再證，結合等比數列的求和公式即可證明.

證明：（Ⅰ）（1）當時顯然成立；

（2）假設當時不等式成立，即，

則，，

，即，

設，

則，∴函數在上單調遞增，

∴，即，

，

∴，假設成立，

綜上得，當時，．

（Ⅱ）要證，即證：，

又因為，則，

則需證：，

由（1）得當時，，

設，

∵，

∴函數在上單調遞減，而，

，

∴，

∴，

即，

∴．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，

則，即，

所以，

則，

∴，

∵，則，

∴，

即，所以，

可知為等比數列，首項為，公比，

利用等比數列的通項公式得出：，

∴，則

，且，

由題意知，由于，

則

，

又因為，且，

則，

則，

由于數列的前項和為，

∴，

即：.