Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求證：有且只有兩個(gè)零點(diǎn)

（2）有兩個(gè)極值點(diǎn)，且不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求出的定義域.求出，判斷的單調(diào)性.根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合的單調(diào)性，可證有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；

（2）定義域?yàn)?/span>.不等式恒成立，等價(jià)轉(zhuǎn)化為.求出，故有兩個(gè)極值點(diǎn)，， 即方程有兩不等實(shí)根，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，故.

令，求出，判斷的單調(diào)性，可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

（1）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，定義域?yàn)?/span>.

.

令，得；令，得.

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

又，

在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即在有且只有一個(gè)零點(diǎn).

同理，

在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

有且只有兩個(gè)零點(diǎn).

（2）定義域?yàn)?/span>，

.

有兩個(gè)極值點(diǎn)，，

有兩不等實(shí)根，

∴，且，.

又，，.

由不等式恒成立，得

恒成立.

令，

當(dāng)時(shí),恒成立，

在上單調(diào)遞減，∴，

.

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.