Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+4與x軸的正半軸相交于點A，與y軸相交于點B，點C在線段OA上，點D在此拋物線上，CD⊥x軸，且∠DCB=∠DAB，AB與CD相交于點E．

（1）求證：△BDE∽△CAE；
（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此拋物線的表達式．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠DCB=∠DAB，∠BEC=∠DEA，

∴△BEC∽△DEA，

∴ = ，又∠BED=∠CEA，

∴△BDE∽△CAE；

（2）

解：∵拋物線y=ax2+bx+4與y軸相交于點B，

∴點B的坐標為（0，4），即OB=4，

∵tan∠DAC=3，

∴ =3，

設AC=m，則DC=3m，OA=m+2，

則點A的坐標為（m+2，0），點D的坐標為（2，3m），

∵△BDE∽△CAE，

∴∠DBA=∠DCA=90°，

∴BD2+BC2=CD2，即22+（3m﹣4）2+（m+2）2+42=m2+（3m）2，

解得，m=2，

則點A的坐標為（4，0），點D的坐標為（2，6），

∴ ，

解得， ，

∴拋物線的表達式為y=﹣x2+3x+4

【解析】（1）根據相似三角形的判定定理得到△BEC∽△DEA，根據相似三角形的性質定理得到 = ，根據相似三角形的判定定理證明即可；（2）設AC=m，根據正切的定義得到DC=3m，根據相似三角形的性質得到∠DBA=∠DCA=90°，根據勾股定理列出算式，求出m的值，利用待定系數法求出拋物線的解析式．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的概念和二次函數的圖象的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數；二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．