Question

【題目】問題背景：數學活動課上老師出示問題，如圖1，有邊長為a的正方形紙片一張，三邊長分別為a、b、c的全等直角三角形紙片兩張，且b ．請你用這三張紙片拼出一個圖案，并將這個圖案的某部分進行旋轉或平移變換之后，提出一個問題（可以添加其他條件，例如可以給出a、b的值等等）．
解決問題：

下面是兩個學習小組拼出圖案后提出的問題，請你解決他們提出的問題．
（1）“愛心”小組提出的問題是：如圖2，將△DFC繞點F逆時針旋轉，使點D恰好落在AD邊上的點D′處，猜想此時四邊形AEFD′是什么特殊四邊形，并加以證明；
（2）“希望”小組提出的問題是：如圖3，點M為BE中點，將△DCF向左平移至DF恰好過點M時停止，且補充條件a=6，b=2，求△DCF平移的距離．
自主創新：
（3）請你仿照上述小組的同學，在下面圖4的空白處用實線畫出你拼出的圖案，用虛線畫出變換圖，并在橫線處寫出你提出的問題．（不必解答）
你提出的問題： ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：作FG⊥AD，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC=∠C=90°，AD∥BC，

∴四邊形GFCD是矩形，

∴GD=FC=b，

∴FD=FD′，

∴D′G=DG=b，

∴AD′=AD﹣2DG=a﹣2b，

∵BE=FC=b，

∴EF=BC﹣2FC=a﹣2b，

∴AD′=EF，

∵AD′∥EF，

∴四邊形AEFD′是平行四邊形

（2）

解：由平移知，∠C′D′F′=∠CDF=∠EBC，

∵∠C′D′F′+∠BF′M=90°，

∴∠MBF′+∠BF′M=90°，

∴∠BMF′=90°，

由勾股定理得，BE= =2 ，

∵點M為BE中點，

∴BM= ，

∵∠BMF′=∠BCE，∠MBF′=∠CBE，

∴△BMF′∽△BCE，

∴ ，

∴ ，

∴BF′= ，

∵BF=BC+CF=8，

∴F′F=BF﹣BF′= ，

∴△DCF平移得距離為 ；

提出的問題：

如圖，

∵MN=BC=b=6，NF=BF′=a=2，

∴FC=BE=F′N=1，

∴EF′=1，

∴EH=F′H= EF′= ，

∵GH∥AB，

∴

∴ ，

∴GH= ，

∴S△GEF′= ×EF′×GH=

（3）當a=6，b=2時，點M，N分別為AD，BC中點，將△MNF沿CB方向移動，使點M落在點A處時，在AB上，AF′交ME于G，求△GEF的面積．
【解析】（1）由正方形的性質得結論判斷出四邊形GFCD為矩形，然后用平行且相等判斷出四邊形AEFD′是平行四邊形；（2）先判斷出△BMF為直角三角形，再根據勾股定理求出BE，判斷出△BMF′∽△BCE，用比例式計算即可．
提出的問題：用平移得特征得EH=F′H= EF′= ，在用三角形的面積公式計算．
【考點精析】關于本題考查的平行四邊形的性質和平行四邊形的判定，需要了解平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形才能得出正確答案．