Question

【題目】如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=5，tan∠DBC= ．點E為線段BD上任意一點（點E與點B，D不重合），過點E作EF∥CD，與BC相交于點F，連接CE．設BE=x，y= ．

（1）求BD的長；
（2）如果BC=BD，當△DCE是等腰三角形時，求x的值；
（3）如果BC=10，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，過A作AH⊥BD于H，

∵AD∥BC，AB=AD=5，

∴∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，

在Rt△ABH中，

∵tan∠ABD=tan∠DBC= ，

∴cos∠ABD= ，

∴BH=DH=4，

∴BD=8；

（2）

解：∵△DCE是等腰三角形，且BC=BD=8，

∴①如圖2，

當CD=DE時，即：CD=DE=BD﹣BE=8﹣x，

過點D作DG⊥BC于G，

在Rt△BDG中，tan∠DBC= ，BD=8，

∴DG= BD= ，BG= BD= ，

∴CG=8﹣BG= ，

在Rt△CDG中，根據勾股定理得，DG2+CG2=CD2，

∴（ ）2+（ ）2=（8﹣x）2，

∴x=8+ （舍）或x=8﹣ ，

②如圖3，

當CE=CD時，

過點C作CG⊥BD，

∴DG=EG= DE，

在Rt△BCG中，BC=8，tan∠DBC= ，

∴BG= ，

∴DG=BD﹣BG= ，

∴x=BE=BD﹣DE=BD﹣2DG=

（3）

解：∵BF=x，BC=10，

∴FC=10﹣x，

∴ ，

∵EF∥DC，

∴△FEB∽△CDB，

∴

∴ = =﹣ x2+ x（0＜x＜8）

【解析】（1）過A作AH⊥BD于H，再根據AD∥BC，AB=AD=5，可得∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，再根據tan∠ABD=tan ，計算出BH=DH=4，進而得到BD=8；（2）分兩種情況用銳角三角函數計算即可得出結論．（3）首先利用平行線的性質得出△FEB∽△CDB，即可得出y與x的函數關系式；
【考點精析】通過靈活運用梯形的定義和直角梯形，掌握一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形．兩腰相等的梯形是等腰梯形；一腰垂直于底的梯形是直角梯形即可以解答此題．