Question

【題目】已知函數(shù)（, 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程（2）不等式恒成立問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題： ，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最小值時(shí)，先根據(jù)，得導(dǎo)函數(shù)在 上單調(diào)遞增，因此，即得實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析:（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，有，

則．

又因?yàn)?/span>，

∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，令

有（）且函數(shù)在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則

（ⅰ）若即時(shí)，有函數(shù)在上單調(diào)遞增，

則恒成立；

（ⅱ）若即時(shí)，則在存在，

此時(shí)函數(shù)在 上單調(diào)遞減， 上單調(diào)遞增且，

所以不等式不可能恒成立，故不符合題意；

當(dāng)時(shí)，有，則在存在，此時(shí)上單調(diào)遞減， 上單調(diào)遞增所以函數(shù)在上先減后增．

又，則函數(shù)在上先減后增且．

所以不等式不可能恒成立，故不符合題意；

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為