Question

【題目】給定橢圓C： =1（a＞b＞0）．設t＞0，過點T（0，t）斜率為k的 直線l與橢圓C交于M，N兩點，O為坐標原點．
（Ⅰ）用a，b，k，t表示△OMN的面積S，并說明k，t應滿足的條件；
（Ⅱ）當k變化時，求S的最大值g（t）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根據題意，設l方程為y=kx+t， 將l方程代入C方程整理得（b2+a2k2）x2+2a2ktx+a2（t2﹣b2）=0；
△=4a4k2t2﹣4a2（t2﹣b2）（b2+a2k2）=4a2b2（b2+a2k2﹣t2）．
由△＞0得k，t應滿足的條件為 b2+a2k2﹣t2＞0，
= = ．
所以 ，其中b2+a2k2＞t2
（Ⅱ） = ．
當 ，即 ，取 ，有 ，得 ．
當 ，即 ，b2+a2k2＞2t2 ， 有 ，
取k=0，得 ．
所以，當k變化時，S的最大值g（t）=
【解析】（Ⅰ）根據題意，設l方程為y=kx+t，聯立直線與橢圓的方程可得（b2+a2k2）x2+2a2ktx+a2（t2﹣b2）=0；由根與系數的關系的關系表示|OT|和|xM﹣xN|，進而由三角形面積公式計算可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S的表達式，分 與 兩種情況討論，分析S的最大值，綜合即可得答案．