Question

【題目】已知函數f（x）= （a、b、c∈Z）是奇函數．
（1）若f（1）=1，f（2）﹣4＞0，求f（x）；
（2）若b=1，且f（x）＞1對任意的x∈（1，+∞）都成立，求a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函數，∴f（x）+f（﹣x）=0，

即 =0，∴c=0，

∴f（x）= ，又f（1）= =1，∴b=a﹣2，

f（2）﹣4= ﹣4＞0，

∴ ﹣4= ＞0，

∴2＜a＜ ，∵a∈Z，∴a=3，b=1，

∴f（x）=

（2）解：b=1時，由（1）得：f（x）= ，

f（x）＞1恒成立即 ＞1對任意x∈（1，+∞）恒成立，

即a＞ = + 對任意x∈（1，+∞）恒成立，

令t= ，∴t∈（0，1），

于是 + =2t2+t∈（0，3），

∴a≥3，a的最小值是3

【解析】（1）根據函數是奇函數求出c=0，根據f（1），f（2）的值求出a，b從而求出f（x）即可；（2）問題轉化為a＞ = + 對任意x∈（1，+∞）恒成立，令t= ，從而求出a的最小值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數奇偶性的性質(在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇)，還要掌握函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關知識才是答題的關鍵．