Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由1﹣3x≠0得x≠0，

故函數(shù)f（x）的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞）．

由f（x）= ，可得3x= ＞0，

求得f（x）＞1，或f（x）＜﹣1，

f（x）的值域為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．

（2）解：f（x）為奇函數(shù)，理由如下：

因為函數(shù)f（x）的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），

且 ，

所以，f（x）為奇函數(shù)．

【解析】（1）由1﹣3x≠0得x≠0，求得函數(shù)f（x）的定義域，由3x= ＞0，求得f（x）的范圍，可得f（x）的值域．（2）因為函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）為奇函數(shù)．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)的值域的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零；求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的．